Kaloshin Group

Dynamische Systeme, Himmelsmechanik, und spektrale Rigidität

“Kann man die Form einer Trommel hören?” Im Wesentlichen geht es bei dieser Frage (die auch Titel einer berühmten Publikation von M. Kac ist) darum, ob der Klang einer Trommel ihre Form bestimmt—eine Frage, die tiefe mathematische Wurzeln hat und größtenteils unbeantwortet ist. Vadim Kaloshin und seine Gruppe untersuchen, wie Verformungen einer Trommel ihren Klang verändern und ob es möglich ist, die Form einer Trommel zu ändern, ohne den Klang zu verändern. Insbesondere untersuchen sie das Laplace-Spektrum von konvexen, planaren Domänen und arbeiten daran zu zeigen, dass diese Eigenwerte solche Domänen lokal bestimmen. Ähnliche Fragen können für riemannsche Mannigfaltigkeit gestellt werden und sind für die Kaloshin-Gruppe ebenfalls von Interesse.

Ein weiterer Schwerpunkt der Kaloshin-Gruppe ist das stochastische Verhalten in unserem Sonnensystem. Zwischen den Umlaufbahnen von Mars und Jupiter befinden sich fast zwei Millionen Asteroiden mit Durchmessern von mehr als einem Kilometer. Wenn Astronomen die Verteilung dieser Asteroiden in Bezug auf die große Halbachse oder—äquivalent—die Periode des Asteroidengürtels betrachten, sehen sie Lücken, die als Kirkwoodlücken bekannt sind. Diese Lücken befinden sich in der Nähe von Resonanzen niedriger Ordnung mit Jupiter, am bekanntesten sind die mit Periodenverhältnissen von 1:3, 2:5 und 3:7. Die 1:3-Lücke wird durch einen bekannten von Wisdom vorgeschlagenen Mechanismus erklärt und durch numerische Experimente gestützt. Dieser Mechanismus scheint auch für die 2:5-Lücke zu gelten. Die Ziele der Kaloshin-Gruppe sind hier einerseits eine mathematische Theorie des stochastischen Verhaltens an den Lücken 1:3, 2:5 und 3:7 zu entwickeln und andererseits die Form der Verteilung dieser Lücken zu erklären.