Kuperberg Group

Primzahlen, Polynome und Muster

Primzahlen, also natürliche Zahlen, die sich nicht als Produkt zweier kleinerer Zahlen ausdrücken lassen, sind grundlegende Objekte der modernen Mathematik, die in der Zahlentheorie und in Anwendungen wie Verschlüsselungssystemen verwendet werden. Primzahlen zeigen eine bemerkenswerte Dichotomie: Sie sind sehr genau definiert und weisen algebraische Eigenschaften auf (zum Beispiel sind gerade Zahlen größer als 2 niemals Primzahlen), doch in vielerlei Hinsicht erscheint ihre Verteilung über die ganzen Zahlen zufällig.

Die Kuperberg Gruppe arbeitet daran, zu verstehen, inwiefern Primzahlen „zufällig“ erscheinen – und inwiefern sie es nicht tun –, indem sie analytische, probabilistische und kombinatorische Methoden anwendet. Primzahlen lassen sich durch bestimmte zufällig generierte Sequenzen recht genau modellieren. Die Eigenschaften dieser Sequenzen zu verstehen, kann uns zu neuen Erkenntnissen über Primzahlen führen. Gleichzeitig können Techniken wie Siebverfahren, analytische Werkzeuge und Methoden aus der additiven Kombinatorik oder der algebraischen Geometrie dazu beitragen, Fragen zu den Primzahlen selbst zu klären. Darüber hinaus vertieft die Untersuchung anderer arithmetischer Folgen (etwa die Folge der Summen zweier Quadrate) oder Analoga der Primzahlen in anderen Kontexten (etwa irreduzible Polynome in einem Polynomring) unser Verständnis der Primzahlen und führt gleichzeitig zu neuen und spannenden Entdeckungen.